Bachelier (정규) 모형

Bachelier(1900)는 최초의 옵션 가격결정 모형으로, Black-Scholes보다 73년 앞서 나왔습니다. 가격 변화는 가산적이며 정규분포를 따릅니다. Bachelier는 퍼센트 수익률(로그정규)이 아니라 달러 변화(정규)를 모형화합니다. 따라서 가격이 음수가 될 수 있습니다. 주식에는 버그이지만, 금리에는 장점입니다.

이 모형의 파라미터는 정확히 하나입니다. 바로 정규 변동성으로, 절대 단위로 측정합니다(예: "30%/년" 대신 "$50/년"). 스마일이 없습니다. 세상이 Bachelier를 따른다면 모든 행사가격의 옵션이 동일한 정규 변동성을 갖습니다. 이 평평한 스마일이 모형의 핵심 예측입니다.

💡

스큐는 모형의 산물일 수 있습니다

Bachelier는 구조상 평평한 스마일을 만듭니다. 이 가격을 Black-Scholes 내재변동성으로 변환하면 스큐가 나타납니다. 이 스큐는 시장에 존재하는 것이 아닙니다. 정규분포일 수도 있는 세계에 로그정규 수학을 억지로 적용한 결과입니다.

모형 탐색하기

평평한 파란 점선이 Bachelier의 관점입니다. 모든 행사가격에 하나의 변동성이 적용됩니다. 초록색 곡선은 같은 옵션 가격을 Black-Scholes 기준으로 다시 표현한 것입니다. 현물 가격을 낮추면 겉보기 BS 스큐가 가팔라지는 것을 볼 수 있습니다. Bachelier 세계에서는 아무것도 변하지 않았는데도 말입니다.

Bachelier vs Black-Scholes 탐색기

일반적인 설정입니다. Bachelier 스마일은 정의상 평평합니다. 동일한 가격을 BS 기준으로 다시 표현하면 스큐가 나타납니다.

노멀 변동성20

$/년 단위의 절대 변동성 (퍼센트 아님)

현물 가격 (S)100

현물 가격이 낮을수록 BS 스큐가 더 뚜렷해집니다

평평한 파란 점선은 Bachelier의 관점으로, 모든 행사가격에 하나의 변동성을 적용합니다. 녹색 곡선은 동일한 옵션 가격을 Black-Scholes 기준으로 다시 표현한 것입니다. "스큐"는 모델링의 산물이지 시장의 특성이 아닙니다.

각 파라미터의 역할

• 정규 변동성: 유일한 파라미터입니다. 퍼센트가 아니라 연간 절대 가격 단위로 측정합니다. 정규 변동성이 20이면 가격이 1년 동안 $20 움직일 것으로 예상된다는 의미입니다(1 표준편차). 모든 행사가격이 같은 변동성을 가지므로 스마일은 평평합니다.
• 현물 가격: Bachelier 스마일은 바뀌지 않습니다(여전히 평평합니다). 그러나 BS 환산 스마일에는 극적인 영향을 줍니다. 현물 가격이 낮을수록 같은 달러 변동이 더 큰 퍼센트 변동이 되므로 BS 내재변동성이 올라가고, 겉보기 풋 스큐가 생깁니다.

BS "스큐"가 나타나는 이유

상황

Bachelier 관점

BS 관점

ATM 옵션 가격결정

정규 변동성이 그대로 적용

로그정규 변동성은 대략 normal_vol / spot

OTM 풋 (낮은 행사가)

ATM과 같은 변동성

낮은 가격에서는 같은 $ 변동이 더 큰 % 변동이므로 IV가 높음

OTM 콜 (높은 행사가)

ATM과 같은 변동성

높은 가격에서는 같은 $ 변동이 더 작은 % 변동이므로 IV가 낮음

현물 가격 하락

스마일은 평평하게 유지

곡선 전체가 위로 이동하고 풋 날개가 가팔라짐

ℹ️

SABR의 베타가 백본을 결정합니다

SABR의 백본(변동성의 변동성을 끈 상태의 스마일)은 베타에 따라 달라집니다. 베타 = 0이면 Bachelier, 베타 = 1이면 Black-Scholes입니다. 베타는 정규와 로그정규 사이 스펙트럼에서 어디에 위치할지를 정합니다.

Bachelier가 쓰이는 곳

시장

Bachelier를 쓰는 이유

정규 변동성 단위

금리 스왑션

EUR, JPY, CHF 금리가 마이너스가 되었습니다. BS는 0에서 무너지지만 Bachelier는 그렇지 않습니다.

bps/년 (예: 50 bps)

스프레드 옵션

스프레드는 음수가 될 수 있습니다. 가산 모형이 자연스럽습니다.

$/년 또는 bps/년

CDS 옵션

신용 스프레드는 가산적 변동으로 모형화하는 것이 자연스럽습니다.

bps/년

크립토 (틈새)

기초자산이 음수가 될 수 있는 펀딩비율 옵션이나 베이시스 옵션.

%/년 (절대)

⚠️

크립토 현물 옵션에는 맞지 않습니다

크립토 현물 가격은 양수이며 레버리지 효과(가격 하락 시 변동성 상승)를 보입니다. 여기서는 로그정규 프레임워크(Black-Scholes 계열)가 더 자연스럽습니다. Bachelier는 금리, 스프레드, 그리고 음수가 될 수 있는 모든 것에 적합한 도구입니다.

Bachelier와 Black-Scholes 한눈에 비교

Bachelier

Black-Scholes

가격 동학

가산적 (정규)

승법적 (로그정규)

변동성 단위

$/년 (절대)

%/년 (상대)

음수 가격?

가능 (설계상)

불가능 (음수의 로그는 정의되지 않음)

스마일 형태

정의상 평평함

세계가 진정으로 로그정규일 때만 평평함

파라미터

1개 (정규 변동성)

1개 (로그정규 변동성)

변환

σ_n ≈ σ_BS × S (ATM 근처)

σ_BS ≈ σ_n / S (ATM 근처)

사용처

금리, 스프레드, CDS

주식, FX, 크립토 현물

변환 공식

ATM 근처에서는 두 변동성을 서로 변환할 수 있습니다.

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

가격이 $100이고 BS 변동성이 30$30입니다. 그러나 이 근사는 ATM에서 멀어지면 깨지며, 바로 그 때문에 Bachelier 가격을 변환하면 BS "스마일"이 나타납니다.

💡

정의상 평평한 스마일

Bachelier는 가격 변화를 가산적으로 취급합니다. 그 스마일은 정의상 평평합니다. BS 기준으로 변환한 뒤 나타나는 스큐는 모형 선택의 산물이지, 시장의 특징이 아닙니다.

수식 탐색기

방정식 탐색기

현물가 (S)

$

행사가 (K)

$

만기까지 남은 일수

일

무위험 이자율

%

내재변동성 (σ)

%

콜 가격

$8300

풋 가격

$7890

콜 Δ

0.555

d₁

0.102

베가

$114

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다음 단계로 넘어가기 전에 이해도를 테스트해보세요.

Q: Black-Scholes와 달리 Bachelier는 왜 평평한 스마일을 만듭니까?

Q: Bachelier 옵션 가격을 BS 내재변동성으로 변환하면 풋 스큐가 나타납니다. 이 스큐는 어디에서 옵니까?

Q: 크립토에서 Black-Scholes 대신 Bachelier를 언제 사용합니까?

Q: ATM 근처에서 정규 변동성과 BS 변동성의 관계는 무엇입니까?

💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.

수학적 직관 쌓기

Bachelier 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요

이 강의는 쉬운 말로 된 직관적 모형에서 시작해 정규 변동성, 가격결정 공식, 그리고 평평한 정규 스마일이 Black-Scholes 기준으로 변환되면 왜 스큐로 나타나는지를 차례로 설명합니다.

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함께 보기:

• Black-Scholes: 로그정규 대응 모형
• CEV 모형: 베타 파라미터로 정규와 로그정규를 연결
• SABR 모형: 베타로 정규-로그정규 스펙트럼을 선택
• Displaced Diffusion: 0 근처 기초자산을 다루는 또 다른 방법
• 내재변동성: 어떤 모형을 선택하느냐에 따라 달라지는 개념
• 스큐: 모형의 산물과 시장의 특징 구분하기