국소변동성
**국소변동성(local volatility)**은 특정 가격 수준과 특정 시점에서 기초자산이 갖는 순간 변동성입니다. 확산 모델에 대입했을 때 관측되는 모든 유럽형 옵션 가격을 정확히 재현하는 함수 가 바로 국소변동성입니다.
이 개념은 Bruno Dupire(1994)와 Derman & Kani(1994)가 각각 독립적으로 개발했습니다. 추가 가정 없이 전체 내재변동성 표면과 일치하는 유일한 모델입니다.
내재변동성 vs. 국소변동성
핵심은 다음과 같습니다. 내재변동성은 만기까지의 경로를 따라 나타나는 국소변동성들의 혼합 평균입니다. 국소변동성은 순간적인 "점별(pointwise)" 변동성입니다.
내재변동성 vs 로컬 변동성
로컬 변동성(실선)은 항상 내재변동성(점선)보다 더 뾰족합니다. 내재변동성은 경로상의 로컬 변동성들의 가중 평균입니다.
스마일 형태를 바꿔 가며 다음 사항을 확인해 보십시오.
- 국소변동성은 항상 더 뾰족합니다. 내재변동성은 경로 전체에 걸쳐 평균을 내기 때문에 극단값을 완화합니다. 국소변동성은 평균화되지 않은 원래의 모습을 보여 줍니다.
- 내재 스큐가 가파를수록 국소변동성은 더 극적으로 나타납니다. 가파른 스큐(위기 상황)에서는 국소변동성이 왼쪽 날개에서 발산합니다. 이는 모델이 "현물 가격이 그만큼 하락한다면, 관측된 풋 가격과 맞추기 위해 순간 변동성이 매우 높아야 한다"고 말하는 것입니다.
- 둘의 관계는 현물금리와 선도금리의 관계와 같습니다. 내재변동성은 현물금리(현재부터 만기까지의 평균)에 해당합니다. 국소변동성은 선도금리(미래 특정 시점의 순간 금리)에 해당합니다.
국소변동성의 의미
기초자산 가격이 변동성으로 이루어진 지형 위를 이동한다고 생각해 보십시오. (가격, 시간) 공간의 각 지점에는 고유한 변동성이 있습니다. 기초자산이 움직이면서 서로 다른 순간 변동성을 경험하게 됩니다.
내재변동성이 50%인 30일 만기 ATM 옵션은 경로상에서 40%부터 65%까지의 국소변동성을 지나갈 수 있습니다. 50%라는 내재변동성은 그 모든 국소변동성을 각 수준에 머문 시간으로 가중한 위험중립 평균입니다.
이 때문에 동일한 기초자산 프로세스에 의존하는 두 옵션이라도 행사가가 다르면 내재변동성이 달라질 수 있습니다. 두 옵션은 국소변동성 지형의 서로 다른 부분을 지나가기 때문입니다.
국소변동성을 사용해야 할 때
이색옵션 가격 결정
국소변동성의 주된 용도입니다. 작업 흐름은 다음과 같습니다.
- 시장에서 유럽형 옵션 가격(또는 내재변동성)을 관측합니다
- 차익거래 없는 내재변동성 표면을 피팅합니다(SVI, SSVI 또는 유사한 방법 사용)
- Dupire 공식으로 국소변동성 표면을 도출합니다
- 국소변동성 표면을 이용해 수치적 가격 결정 엔진(유한차분 PDE 또는 몬테카를로)을 구축합니다
- 국소변동성 지형을 따라 기초자산을 진화시켜 이색옵션의 가격을 산출합니다
보장되는 점: 국소변동성으로 가격을 매긴 모든 이색옵션은 관측된 모든 유럽형 옵션 가격과 일관됩니다. 배리어 옵션 가격이 바닐라 옵션과 모순되지 않으며, 이는 헤징에서 중요합니다.
표면과 일관된 그릭스
국소변동성 하에서 계산한 그릭스는 현물 가격이 움직이면 변동성도 변한다는 사실을 반영합니다. 국소변동성 하의 델타는 Black-Scholes 델타와 다릅니다. 모델이 다른 현물 수준으로 이동하면 다른 국소변동성을 경험한다는 것을 "알고" 있기 때문입니다. 이는 개념적으로 Taleb이 "섀도 감마(shadow gamma)"라고 부르는 것과 비슷합니다. 즉, 현물이 움직여 변동성이 바뀌면서 생기는 추가적인 델타 변화입니다.
동학 문제
국소변동성에는 잘 알려진 약점이 하나 있습니다. 스마일 동학을 잘못 예측합니다.
국소변동성 하에서 변동성은 현물 가격의 결정론적 함수입니다. 현물이 어디에 있는지 알면 변동성이 얼마인지 정확히 알 수 있습니다. 변동성에 "의외성"이 없습니다. 이는 다음을 의미합니다.
- 현물이 하락하면, 국소변동성은 이 가격에서는 원래부터 변동성이 이만큼 높을 예정이었다고 말합니다. 스마일은 평탄해집니다.
- 실제로는, 현물이 하락할 때 변동성이 국소변동성의 예측보다 더 많이 상승하는 경우가 많고, 스마일은 가팔라집니다.
결과적으로 국소변동성은 미래 스마일 형태에 의존하는 옵션(배리어 옵션, 선도 출발 옵션, 클리켓)을 체계적으로 저평가합니다.
국소변동성 vs. 다른 모델
| 국소변동성 | SVI | SABR | |
|---|---|---|---|
| 정의 | 각 (S, t)에서의 순간 변동성 | 모수적 스마일 형태 | 확률적 변동성 모델 |
| 관측 가능 여부 | 아니요 (도출) | 아니요 (피팅) | 아니요 (피팅) |
| 정확한 캘리브레이션 | 예 (구성상 보장) | 근사 | 근사 |
| 스마일 동학 | 부정확 (결정론적) | 명시되지 않음 | 더 나음 (확률적) |
| 이색옵션 가격 결정 | 예 (주된 용도) | 아니요 | 제한적 |
| 속도 | 느림 (PDE/MC) | 빠름 | 빠름 (공식) |
| 적합한 용도 | 배리어, 아시안, 이색옵션 | 바닐라 가격 결정, 리스크 | 스왑션, FX 바닐라 |
다른 모델과의 연결
내재변동성에서 국소변동성으로: Dupire 공식을 사용합니다. 입력으로 차익거래 없는 내재 표면이 필요합니다.
국소변동성에서 내재변동성으로: 국소변동성 표면 하에서 전진 PDE를 풀어 유럽형 옵션 가격을 산출한 뒤, 역산하여 내재변동성을 구합니다. 구성상 정확히 원래 값으로 되돌아옵니다.
SABR과 국소변동성: SABR의 파라미터는 국소변동성의 골격을 제어하고(절대 변동성 , 따라서 백분율 변동성 ), 는 그 위에 확률적 층을 더합니다. SABR은 추가 동학을 갖춘 국소변동성의 모수적 근사로 볼 수 있습니다.
SVI와 국소변동성: SVI는 내재 표면을 제공합니다. 이어서 Dupire 공식이 국소변동성을 제공합니다. 전체 흐름은 다음과 같습니다. 시장 호가 -> SVI 피팅 -> 내재 표면 -> Dupire -> 국소변동성 -> 이색옵션 가격 결정기.
수학적 직관 키우기
로컬 변동성을 처음부터 배우기인터랙티브 학습 · Dupire 공식을 다룹니다위의 인터랙티브 레슨은 Dupire 국소변동성 모델을 기본 원리부터 다룹니다. 내재변동성이 왜 국소변동성의 경로 가중 평균인지, Dupire 공식이 관측된 가격에서 국소변동성을 어떻게 추출하는지, 내재변동성 스마일과 국소변동성 표면의 관계, 그리고 경로 의존형 이색옵션의 가격 결정에서 국소변동성이 왜 중요한지를 설명합니다.
오픈소스 구현체
| 저장소 | 살펴볼 이유 |
|---|---|
| QuantLib | FD 가격 결정 엔진을 갖춘 Dupire 국소변동성 |
| OpenGamma Strata | 시장 데이터로부터 국소변동성 표면 구축 |
| RustQuant | Rust로 구현한 국소변동성 가격 결정 |
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