머튼 점프-확산 모형
블랙-숄즈 모형은 가격이 매끄럽게 움직인다고 가정합니다. 갭도 없고, 갑작스러운 폭락도 없습니다. 머튼(1976)은 여기에 점프를 추가합니다. 가격은 단순히 확산하는 것이 아니라 갑자기 위나 아래로 순간이동할 수 있습니다. 시장은 하룻밤 사이에 갭을 만들고, 스테이블코인은 한 블록 만에 디페깅됩니다.
두꺼운 꼬리와 가파른 단기 스마일은 여기서 곧바로 도출됩니다. 점프 위험이 클수록 변동성 표면의 날개가 가팔라집니다.
점프가 옵션에 중요한 이유
만기가 2일 남은 OTM 풋은 블랙-숄즈에서 거의 가치가 없습니다. 확산만으로 행사가에 도달하기에는 시간이 부족하기 때문입니다. 그러나 시장이 하룻밤 사이에 15% 점프할 수 있다면, 그 풋은 실질적인 가치를 가집니다. 점프 모형은 이를 반영합니다. 단기 스마일이 그토록 가파른 이유가 바로 이것입니다.
파라미터 탐색하기
먼저 "No jumps"(점프 없음)로 시작하여 평평한 블랙-숄즈 스마일을 확인하십시오. 그다음 "Crash risk"(폭락 위험)로 전환하여 풋 날개가 가팔라지는 모습을 관찰하십시오.
Merton 점프-확산 스마일 탐색기
먼저 "점프 없음"으로 평평한 Black-Scholes를 확인한 후, "폭락 리스크"로 전환하여 점프가 스큐를 만드는 방식을 살펴보세요.
각 파라미터의 역할
- 람다(점프 강도): 1년 동안 예상되는 점프 횟수입니다. 0이면 블랙-숄즈와 같습니다. 1이면 대략 1년에 한 번 폭락 규모의 이벤트가 발생한다는 뜻입니다. 크립토에서는 2~3까지 올라갈 수 있습니다.
- 평균 점프 크기: 점프의 평균적인 방향입니다. 음수이면 급등보다 폭락이 더 흔하다는 뜻입니다. 이것이 풋 스큐를 만들어냅니다.
- 점프 변동성: 각 점프의 크기가 얼마나 들쭉날쭉한지를 나타냅니다. 평균 점프가 0이더라도 점프 변동성이 높으면 두꺼운 꼬리가 생깁니다(양쪽 날개가 모두 올라갑니다).
- 기본 변동성(시그마): 점프 사이의 정상적인 확산 변동성입니다. 전체적인 수준을 결정합니다.
점프가 스마일을 형성하는 방식
점프 스마일 vs. 확률변동성 스마일
머튼 모형과 헤스턴 모형(확률변동성)은 모두 스마일을 만들어내지만, 그 방식이 다릅니다. 이 차이는 트레이딩에서 중요합니다.
단기 만기 vs. 장기 만기
머튼 모형은 점프 위험이 지배적인 단기 옵션에서 가장 유용합니다. 만기가 길어지면 중심극한정리가 작동합니다. 작은 점프가 많이 모이면 확산처럼 보이게 되고, 점프만으로 만들어진 스마일은 희미해집니다. 기간구조의 장기 구간에서는 확률변동성이 그 역할을 넘겨받습니다.
크립토에서의 머튼 모형
크립토는 머튼 모형이 가장 중요하게 작동하는 시장이라고 할 수 있습니다. 시장은 24시간 내내 거래되지만 유동성 공백은 흔합니다. 거래소 장애, 오라클 오류, 갑작스러운 청산 연쇄가 그 예이며, 이것들이 바로 점프입니다. ATM 수준은 크게 변하지 않을 수 있지만, 날개는 극적으로 가팔라집니다.
방정식 탐색기
내재변동성, 총분산, 로그 머니니스, 옵션 가격 사이를 변환합니다.
방정식 탐색기
💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.
수학적 직관 쌓기
머튼 점프 모형을 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요이 레슨은 "가격이 순간이동할 수 있다면?"이라는 단순한 질문에서 출발하여, 점프 강도, 점프 크기, 그리고 단기 날개가 비싸지는 이유에 대한 직관을 완전히 쌓아 나갑니다.
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