단순 및 기초 모델
기본 구성 요소입니다. Black-Scholes는 일정한 변동성을 가정하며 스마일이 없습니다. CEV는 파라미터 하나를 추가해 스큐를 만들어 냅니다. Displaced Diffusion은 가격 축을 이동시켜 마이너스 금리를 처리합니다. 실무에서 스마일을 피팅하기에는 너무 단순하지만, 모든 복잡한 모델은 이 중 하나를 확장한 것입니다.
모든 복잡한 모델은 단순한 모델을 확장한 것입니다
SABR은 CEV를 필요로 합니다(CEV가 그 뼈대입니다). Heston은 Black-Scholes를 필요로 합니다(Black-Scholes가 그 특수한 경우입니다). 여기서부터 시작하세요.
한눈에 보기
공통점
네 모델 모두 기초자산 가격에 대해 단일 확산 과정을 기술합니다. 어느 모델에도 확률적 변동성, 점프, 또는 두 번째 무작위성 원천이 없습니다. 차이는 가격에 대해 어떤 동학을 가정하느냐에 있습니다.
모델 간의 관계
Black-Scholes는 기준선입니다. 일정한 변동성, 로그정규 가격, 스마일 없음이 특징입니다. CEV는 변동성이 가격 수준에 따라 변하도록(sigma 곱하기 S의 beta 빼기 1 거듭제곱) 이를 일반화하며, 그 결과 스큐가 생깁니다. 이것이 SABR의 뼈대입니다. SABR이 국소 변동성 성분을 설정할 때 CEV를 사용합니다. Displaced Diffusion은 다른 경로를 택합니다. 가격 축을 이동시켜(S 대신 S + d를 모델링) 역시 스큐를 만들어 내며, 마이너스 금리나 음의 가격도 처리할 수 있게 해 줍니다. 이동폭이 작을 때는 CEV와 비슷하게 동작합니다. Bachelier는 Black-Scholes의 가산형 버전으로, 가격이 로그정규분포 대신 정규분포를 따릅니다. (정규 변동성 기준으로) 평탄한 스마일을 만들고 자연스럽게 음의 가격을 허용하기 때문에, 금리가 마이너스로 내려갔을 때 금리 옵션의 표준 모델이 되었습니다.
이 섹션의 모델:
- Black-Scholes - 기초
- CEV 모델 - 변동성이 가격에 비례
- Displaced Diffusion - 이동된 로그정규
- Bachelier - 정규 동학, 가산형 변동성