SSVI (Surface SVI)

SSVI를 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · SVI 기초 지식이 필요합니다

정보

SSVI는 SVI를 표면 수준으로 확장한 모델입니다. 만기별(per-slice) 모델에 익숙하지 않다면 먼저 해당 문서를 읽어 보시기 바랍니다. 표면 구축 파이프라인 전체는 변동성 표면 구축 방식을 참고하십시오.

SSVI(Surface SVI) 는 SVI 스마일 모델을 개별 만기 슬라이스에서 변동성 표면 전체로 확장합니다. 핵심 장점은 캘린더 차익거래가 없음이 구조적으로 보장된다는 점입니다. 슬라이스를 각각 따로 피팅한 뒤 만기 간 불일치를 사후에 바로잡을 필요가 전혀 없습니다.

SSVI가 해결하는 문제

만기별 SVI에서는 각 만기를 독립적으로 피팅합니다. 각 슬라이스는 내부적으로 일관될 수 있지만(버터플라이 차익거래 없음), 슬라이스끼리는 서로 모순될 수 있습니다. 구체적으로, 특정 행사가에서의 총분산이 한 만기에서 다음 만기로 갈 때 감소하여 캘린더 차익거래가 생길 수 있습니다.

이를 사후에 바로잡는 방식(사후 보정)은 취약합니다. 한 슬라이스를 살짝 조정하면 피팅이 바뀌고, 그 결과 다른 곳에서 새로운 위반이 생길 수 있습니다. SSVI는 표면을 공동으로 모델링하여 이 문제를 원천적으로 피합니다.

작동 방식

SSVI는 총분산을 로그 머니니스 $k$와 ATM 총분산 $\theta_t$ 두 가지의 함수로 표현합니다.

핵심 아이디어는 이렇습니다. 슬라이스마다 5개의 파라미터를 피팅하는 대신(만기 5개면 파라미터 25개), SSVI는 소수의 전역 파라미터와 ATM 총분산 곡선 $\theta_t$만으로 표면 전체를 파라미터화합니다.

각 구성 요소의 역할

$\theta_t$ (ATM 총분산 곡선): 기간구조의 뼈대입니다. $t$에 대해 증가해야 합니다(기본적인 무차익 조건). ATM 옵션 가격에서 직접 관측할 수 있습니다.

$\rho$ (스큐): 스마일의 기울기를 제어하는 단일 파라미터로, 모든 만기에 공통으로 적용됩니다. 이는 단순화입니다. 실제로는 스큐가 만기에 따라 달라질 수 있지만, SSVI는 이 유연성을 포기하는 대신 캘린더 차익거래가 없음을 보장받습니다.

$\varphi(\theta_t)$ (스마일 가파르기 함수): 각 만기에서 스마일이 얼마나 넓은지를 제어합니다. $\theta_t$가 커질수록(만기가 길어질수록) 스마일은 일반적으로 평탄해집니다. $\varphi$는 이 감쇠를 표현합니다.

$\varphi$의 일반적인 선택

표준적으로는 '멱법칙(power-law)' 형태를 사용합니다.

트레이드오프

SSVI는 만기별 SVI보다 자유도가 낮습니다. 이것이 SSVI의 강점이자 한계입니다.

	만기별 SVI	SSVI
파라미터	만기당 5개(슬라이스 5개면 25개)	전역 3개 + ATM 곡선
캘린더 차익거래	피팅 후 점검 및 수정 필요	구조적으로 없음
슬라이스별 피팅 품질	우수함(슬라이스당 자유 파라미터 5개)	양호하나 제약이 있음
스큐 변화	만기별로 다를 수 있음	모든 만기에 단일 $\rho$
사용 시점	개별 슬라이스 분석, 데이터가 희소할 때	표면 전체, 실거래 가격 산정

가장 큰 제약은 SSVI가 모든 만기에 단일 $\rho$를 사용한다는 점입니다. 실제로는 단기물 스큐가 장기물 스큐보다 가파른 경우가 많습니다. SSVI는 $\varphi$(만기별 윙의 가파르기를 제어)를 통해 이를 부분적으로 반영하지만, 만기별 SVI만큼 모든 변화를 포착하지는 못합니다.

대부분의 크립토 및 주식 응용에서는 이 트레이드오프를 감수할 가치가 있습니다. 캘린더 차익거래가 없다는 보장 덕분에 표면 버그의 한 범주 전체가 사라집니다.

시간이 지날수록 스마일이 평탄해지는 경우

기간구조

Backwardation: 단기 IV > 장기. 이벤트 리스크가 반영된 신호.

모양을 전환하여 기간구조가 어떻게 변하는지 확인하세요. 백워데이션은 종종 다가오는 이벤트를 신호합니다.

SSVI는 장기물 스마일이 단기물 스마일보다 평탄하다는 관측을 자연스럽게 반영합니다. $\varphi(\theta_t)$ 함수는 $\theta_t$가 커질수록 감소하므로, 만기가 길어질수록 스마일의 폭이 줄어듭니다. 이는 시장의 실제 움직임과 일치합니다. 단기의 이벤트성(binary) 리스크는 가파른 스마일을 만들지만, 장기 스마일은 여러 가능한 시나리오를 평균하므로 평탄해집니다.

SSVI 피팅

1. 시장 데이터에서 ATM 분산 곡선 $\theta_t$를 추출합니다. 각 만기의 ATM IV를 제곱한 뒤 시간을 곱하면 됩니다.
2. 모든 행사가와 만기에 걸쳐 SSVI와 관측된 IV 사이의 가중 오차를 동시에 최소화하여 $\rho$, $\eta$, $\gamma$를 피팅합니다.
3. 최적화 과정에서 제약 조건을 강제합니다: $\eta(1 + |\rho|) \le 2$, $\gamma \in [0, \tfrac{1}{2}]$, $\theta_t$ 증가.

최적화는 빠르고(파라미터 3개) 안정적입니다. 사후 캘린더 보정이 필요 없습니다.

SSVI vs. 만기별 SVI

다음과 같은 경우 만기별 SVI를 사용하십시오.

• 한 번에 하나의 만기만 관심 대상일 때
• 슬라이스별로 최고의 피팅 품질이 필요할 때
• 데이터가 희소하고(만기가 적음) 유연성이 필요할 때
• 캘린더 차익거래 점검을 수동으로 처리할 의향이 있을 때

다음과 같은 경우 SSVI를 사용하십시오.

• 실거래 가격 산정을 위해 표면 전체가 필요할 때
• 캘린더 차익거래가 없어야 한다는 조건을 양보할 수 없을 때
• 간결한 표현(파라미터 3개 + ATM 곡선)을 원할 때
• 여러 만기에 걸쳐 동시에 가격을 산정할 때

오픈소스 구현

저장소	살펴볼 이유
SVI-Vol-Surface	SSVI 표면 피팅
QuantLib	experimental 모듈의 SSVI

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함께 보기:

• SVI 파라미터화 - 만기별 모델
• ORC Wing (Jump-Wing) - 트레이더 친화적인 SVI 재파라미터화
• 보간 방법 - 모든 방법 비교
• 변동성 표면 구축 방식 - 전체 파이프라인