SVI 파라미터화

정보

이 페이지는 SVI 모델을 심도 있게 다룹니다. SVI가 변동성 표면 파이프라인에서 어떤 역할을 하는지는 표면 구축 방식을 참고하십시오. 다른 방법과의 비교는 보간 방법을 참고하십시오.

**SVI(Stochastic Volatility Inspired)**는 암호화폐 및 주식 옵션에서 변동성 스마일을 피팅하는 업계 표준입니다. 5개의 파라미터로 단일 만기의 스마일 형태를 기술합니다. 이름은 그 함수 형태가 단순화된 확률변동성 모델에서 유도될 수 있다는 데서 유래했습니다.

파라미터 탐색

아래에서 각 파라미터를 조정하여 스마일이 어떻게 변하는지 확인해 보십시오. 프리셋을 사용하면 자주 쓰이는 구성 사이를 빠르게 전환할 수 있습니다.

SVI 파라미터 탐색기

주식/암호화폐의 전형적인 스마일입니다. 풋 윙이 높습니다.

a (수준)0.040

스마일 전체를 위아래로 이동시킵니다

b (기울기)0.250

윙의 가파른 정도를 결정합니다

ρ (스큐)-0.40

음수 = 풋 스큐, 양수 = 콜 스큐

m (이동)0.00

스마일 최저점의 위치를 결정합니다

σ (곡률)0.200

작으면 뾰족한 V, 크면 완만한 U

ATM IV

104.6%

풋 윙 기울기

0.350

콜 윙 기울기

0.150

각 파라미터의 역할

• a (레벨): 스마일 전체를 위아래로 이동시킵니다. $a$가 클수록 전반적인 IV가 높아집니다. '기준' 분산으로 생각하면 됩니다.
• b (기울기): 윙의 가파름을 조절합니다. $b$가 클수록 윙이 가팔라지고 외가격 (OTM) 옵션이 비싸집니다.
• $\rho$ (스큐): 스마일을 기울입니다. 음의 $\rho$는 풋 스큐(일반적), 양의 $\rho$는 콜 스큐(드묾), 0은 대칭입니다.
• m (이동): 스마일의 최저점을 좌우로 이동시킵니다. 보통 0 근처입니다(최저점이 ATM에 위치).
• $\sigma$ (곡률): 스마일 바닥의 둥근 정도를 조절합니다. $\sigma$가 작으면 뾰족한 V자형, 크면 완만한 U자형이 됩니다.

윙의 거동

ATM에서 멀어질수록 스마일은 직선에 가까워집니다. 기울기는 다음과 같습니다.

• 풋 윙 (왼쪽): 기울기 = $b(1 - \rho)$
• 콜 윙 (오른쪽): 기울기 = $b(1 + \rho)$

일반적인 풋 스큐($\rho < 0$)에서는 풋 윙이 콜 윙보다 가파릅니다. 이처럼 유계이며 선형인 윙 거동은 SVI의 핵심 장점 중 하나로, 터무니없는 값으로 외삽되는 일이 없습니다.

시장 데이터에 피팅하기

단일 만기에 대해 여러 행사가에서 관측된 IV 값이 주어지면, SVI는 이를 가장 잘 재현하는 5개 파라미터를 찾습니다.

절차:

1. 대상 만기의 모든 IV 관측값을 수집합니다(일반적으로 5~15개 데이터 포인트).
2. 각 값을 총 분산으로 변환합니다. 관측 IV의 제곱에 만기까지의 시간을 곱합니다.
3. 가중 최소제곱 최적화기를 실행하여 SVI 곡선과 관측값의 차이를 최소화하는 파라미터를 찾습니다.
4. 신뢰도에 따라 가중치를 부여합니다. ATM 옵션은 유동성이 높아 가중치가 크고, 매수호가/매도호가 스프레드가 좁은 옵션은 신뢰도가 높아 가중치가 크며, 깊은 외가격 옵션은 가중치가 작습니다.
5. 최적화 과정에서 차익거래 제약 조건을 적용합니다(아래 참고).

속도: 단일 만기 피팅은 10밀리초 이내에 완료됩니다. 전체 표면(모든 만기)은 호가가 갱신될 때마다 실시간으로 재구축됩니다.

차익거래 제약 조건

SVI는 대부분의 차익거래를 방지하도록 제약할 수 있습니다. 일부 제약은 파라미터에 대한 단순 부등식이며, 버터플라이 차익거래 부재는 수치적 검증도 필요합니다.

윙 기울기 경계 (버터플라이 차익거래 부재의 필요조건):

스마일은 어떤 버터플라이 스프레드도 공짜 수익이 되지 않을 만큼 충분히 볼록해야 합니다. 총 분산 기준으로, 윙은 Roger Lee의 경계(아래 참고)보다 빠르게 증가할 수 없습니다.

$b(1 + |\rho|) \leq 2$

이는 필요조건일 뿐 충분조건은 아닙니다. 스마일이 이 조건을 만족하더라도 등가격 부근에서 음의 밀도를 암시할 수 있으므로, 피팅 시에는 로그 머니니스 값의 그리드 위에서 Gatheral의 밀도 함수 $g(k) \geq 0$도 함께 확인합니다.

최저점에서의 비음 분산:

스마일의 최저점은 0 이상이어야 합니다.

$a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$

캘린더 제약 (만기 간):

총 분산은 모든 행사가에서 만기가 길어질수록 증가해야 합니다. 이는 연속된 만기 슬라이스 사이에서 모든 $k$에 대해 $w_1(k) \leq w_2(k)$인지 확인하여 적용합니다.

변형 모델

SVI에는 두 가지 중요한 변형이 있으며, 각각 별도 페이지에서 다룹니다.

**ORC Wing (Jump-Wing)**은 ATM 분산, ATM 스큐, 풋 윙 기울기, 콜 윙 기울기, 최소 분산 등 트레이더에게 친숙한 값으로 SVI를 재파라미터화합니다. 스마일은 같고 조절 손잡이만 다릅니다. 스마일을 수작업으로 편집할 때 유용합니다.

**SSVI (Surface SVI)**는 SVI를 전체 표면으로 확장하여, 구조적으로 캘린더 차익거래가 없음을 보장합니다. 각 만기를 독립적으로 피팅하는 대신, 공유 스큐 파라미터와 스마일 가파름 함수로 만기들을 연결합니다. 자유도는 줄어들지만 만기 간 보정이 필요 없습니다.

방정식 탐색기

SVI는 총 분산과 로그 머니니스를 기준으로 작동합니다. 이 도구로 IV, 총 분산, 행사가 표현 사이를 변환해 보십시오.

방정식 탐색기

k = ln(K / F)로그 머니니스 = ln(행사가 / 선도가격)

행사가 (K)

$

옵션의 행사가격

선도가격 (F)

$

선도가격 (단기물은 ≈ 현물)

로그 머니니스 (k)

-0.0513

머니니스 (K/F)

0.9500

유형

-5.0% OTM 풋

로그 머니니스는 SVI와 대부분의 파라메트릭 모델이 사용하는 x축입니다. k = 0은 ATM, 음의 k는 OTM 풋 쪽, 양의 k는 OTM 콜 쪽입니다.

왜 SVI인가?

• 5개 파라미터만으로 관측되는 거의 모든 스마일을 피팅할 수 있습니다. 스플라인보다 파라미터가 적고, 3-파라미터 모델보다 유연합니다.
• 유계 윙이 외삽 폭주를 막아 줍니다. SVI가 최악의 경우에도 유한한 기울기로 외삽될 뿐입니다.
• 단순한 제약 조건으로 윙과 분산 레벨을 합리적으로 유지하며, 버터플라이 차익거래는 그리드 위에서 저렴하게 수치 검증할 수 있습니다.
• 빠른 피팅 덕분에 시장 변동에 따라 표면을 실시간으로 갱신할 수 있습니다.
• 암호화폐 및 주식 변동성 데스크에서 널리 사용됩니다. Hypercall은 각 기초자산의 표면을 해당 기초자산에 설정된 변동성 소스에서 가져옵니다.

수학적 직관 쌓기

SVI를 처음부터 배우기인터랙티브 학습 · 5개 섹션 · 사전 지식 불필요

위의 인터랙티브 레슨은 SVI를 기본 원리부터 다룹니다. SVI가 무엇을 왜 파라미터화하는지, 5개 파라미터 각각의 개별 효과, 분산과 변동성 간 변환, 무차익 제약 조건, 그리고 시장 데이터에 대한 실습 캘리브레이션까지 포함합니다.

오픈소스 구현

저장소	살펴볼 이유
SVI-Vol-Surface	시각화를 포함한 Python SVI 캘리브레이션
QuantLib	C++로 구현된 SVI 파라미터화

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SVI 변형 모델: ORC Wing (Jump-Wing) | SSVI (Surface SVI)

함께 보기: 표면 구축 방식 | 보간 방법 | SABR 모델 | 스큐