Variance Gamma
Variance Gamma(VG)에는 확산 성분이 전혀 없습니다. 가격은 점프 사이에서 매끄럽게 움직이지 않으며, 모든 움직임이 점프입니다. 점프는 랜덤 시계에 따라 발생합니다. 활동이 많을 때는 시간이 빠르게 흐르고, 조용한 구간에서는 느리게 흐릅니다. 이 랜덤 시계 덕분에 Merton 모델처럼 별도의 '점프 크기 분포'를 가정하지 않아도 두꺼운 꼬리가 만들어집니다. 그 결과로 얻어지는 변동성 표면은 실제 시장의 스큐와 첨도를 동시에 맞출 수 있습니다.
세 개의 파라미터가 모든 것을 결정합니다. 변동성(sigma), 스큐(theta), 첨도(nu)입니다.
랜덤 시계라는 아이디어
시장에는 무작위 속도로 돌아가는 내부 시계가 있습니다. 바쁜 날에는 시계가 빠르게 돌아가고 가격도 크게 움직입니다. 조용한 날에는 시계가 거의 움직이지 않습니다. VG는 랜덤 시계 위의 Black-Scholes입니다. 폭락이나 점프 크기에 대한 가정 없이도 두꺼운 꼬리와 자연스러운 스마일이 도출됩니다.
파라미터 탐색하기
먼저 'Thin tails'를 선택해 Black-Scholes에 가까운 형태를 확인해 보십시오. 그다음 nu(첨도)를 크게 올려 날개가 들려 올라가는 모습을 관찰해 보십시오.
Variance Gamma 스마일 탐색기
"얇은 꼬리"를 선택해 거의 평평한 블랙-숄즈를 확인한 후, ν를 높여 초과 첨도로 인해 날개가 올라가는 모습을 관찰해 보세요.
각 파라미터의 역할
- Sigma(변동성): 시계가 정상 속도로 돌아갈 때의 기준 변동성입니다. 전체적인 수준을 나타내며, ATM 변동성과 비슷한 개념입니다.
- Theta(스큐): 과정의 드리프트입니다. theta가 음수이면 주어진 시간 구간에서 시장이 위로보다 아래로 더 많이 움직이는 경향이 있다는 뜻입니다. 이로 인해 풋 스큐가 생기며, 왼쪽 날개가 오른쪽보다 가파르게 됩니다.
- Nu(첨도): 시계가 얼마나 '무작위적'인지를 조절합니다. nu가 낮으면 시계가 일정하게 돌아갑니다(얇은 꼬리, Black-Scholes에 근접). nu가 높으면 시계가 매우 불규칙해집니다(두꺼운 꼬리, 가파른 날개). OTM 옵션의 가격이 크게 비싸집니다.
왜 순수 점프인가?
Black-Scholes는 물론 Merton도 연속적인 확산 성분을 가정합니다. 가격은 대부분 매끄럽게 움직이고, 가끔 점프한다는 것입니다. VG는 모든 가격 움직임이 불연속적일 수 있다고 봅니다. 틱 단위에서 보면 가격은 한 수준에서 다음 수준으로 점프합니다. 체결과 체결 사이에 매끄러운 경로는 없습니다. 따라서 델타헤지는 구조적으로 불완전하며, 페이오프를 연속적으로 복제할 수 없습니다.
이는 크립토 시장이 실제로 작동하는 방식을 잘 설명합니다. 특히 오더북이 얇아 가격이 한 수준에서 다른 수준으로 갭을 만드는 저유동성 페어에서 그렇습니다.
세 개의 파라미터, 세 개의 적률
VG가 우아한 이유는 각 파라미터가 수익률의 통계적 성질 하나에 직접 대응하기 때문입니다. Sigma는 분산(2차 적률), theta는 왜도(3차 적률), nu는 초과 첨도(4차 적률)를 조절합니다. 중복도 없고, 파라미터 간 상관관계로 골치 아플 일도 없습니다.
VG와 다른 모델 비교
실전에서의 VG
VG는 전통적인 트레이딩 데스크에서 Heston이나 SABR만큼 흔히 쓰이지는 않지만, 크립토와 신용 분야에서 고유한 입지를 가지고 있습니다.
방정식 탐색기
내재변동성, 총분산, 로그 머니니스, 옵션 가격 사이를 변환해 보십시오.
방정식 탐색기
💡 팁: 답안을 확인하기 전에 각 질문에 대해 스스로 답해보세요.
수학적 직관 키우기
Variance Gamma 처음부터 배우기인터랙티브 레슨 · 사전 지식 불필요이 레슨은 랜덤 시계라는 사고 모델을 통해 Variance Gamma를 설명한 뒤, theta, sigma, nu가 각각 스큐, 일반적인 움직임의 크기, 꼬리 두께를 어떻게 조절하는지 보여 줍니다.
함께 보기:
- Black-Scholes: 확산만 있는 기준 모델
- Merton 점프-확산: 확산에 점프를 더한 모델
- Heston 모델: 확률적 변동성(확산 기반)
- 보간 방법: 모든 모델 비교